If $a=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}{x^4}$ and $b=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{{\sin }^2<!--\; \; -->x}{\sqrt{2}-<!--\; -\; -->\sqrt{1+\cos <!--\; \; -->x}}$ , then the value of ab³ is :

Answer :

Solution :

$\mathrm{a}=\underset{\mathrm{x}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\sqrt{1+\sqrt{1+{\mathrm{x}}^4}}-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}{{\mathrm{x}}^4}$

$=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\sqrt{1+x^4}-<!--\; -\; -->1}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2})}$

$=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{x^4}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+x^4}+1)}$

Applying limit $\mathrm{a}=\frac{1}{4\sqrt{2}}$

$b=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{{\sin }^2<!--\; \; -->x}{\sqrt{2}-<!--\; -\; -->\sqrt{1+\cos <!--\; \; -->x}}$

$=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{(1-<!--\; -\; -->{\cos }^2<!--\; \; -->x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos <!--\; \; -->x})}{2-<!--\; -\; -->(1+\cos <!--\; \; -->x)}$

Applying limits $b=2(\sqrt{2}+\sqrt{2})=4\sqrt{2}$

Now, ${\mathrm{a}\mathrm{b}}^3=\frac{1}{4\sqrt{2}}\times <!--\; \times \; -->(4\sqrt{2}{)}^3=32$